第10回　78期数学コンテスト

78期が中学１年生から１学期に１回のペースで行ってきた数学コンテストです。生徒からの要望により，高校進学後も実施することになりました。高校１年生を主に対象とした，通算10回目のコンテストです。

実施期間は2021年4月10日～4月24日の約２週間で，全問正解者は24名でした。このうち4名は特別参加の下級生（中学３年生）です。「思考を楽しむこと」「学びと遊びの境界をなくすこと」「友人と話題になる問題」を目標に出題しています。提出は任意，期間中であれば何度でも提出可能，電卓やPCの使用も可（PCは使わなくて解ける問題を出題していますが），友人・家族との相談も可です。

問題の全文はこちらのダウンロードリンクから閲覧することができます。今回はその中から３つの問題を紹介します。

問題４　嘘つき
ある集落に100人の村人が住んでいる。
村人のうち，何人かは嘘つきで，残りは全員正直者である。
嘘つきは常に誤った回答しかせず，
正直者は常に正しい回答をする。

彼らはそれぞれ別の家に1人で住んでおり，
それら100軒の家は広場を囲むように円形状に並んでいる。

いま，「あなたの隣家に嘘つきが住んでいますか」というアンケート
を行ったところ，25人が「はい」と回答し，残りの75人は「いいえ」と回答した。

嘘つきは最も少なくて何人いるか答えなさい。

【コメント】
直観ではかなりの嘘つきが住んでいそうですが，答えは意外と少ないです（答えはこのページの最下部に記載しておきます。）。嘘つきと正直者のうまい配置を考える問題です。

問題５　虫食い算
次のA～Fにあてはまる１桁の自然数を答えなさい

【コメント】
着眼点はＤ，Ｆの数値の上限を見極めること。ＡとＦの偶奇が一致すること。そして左辺と右辺のみに注目して，４乗引く３乗の値にバリエーションが限られることです。見た目以上にハードな計算になります。答えはこのページの最下部に記載しておきます。

問題７　素数生成式

a,b,cは9以下の自然数とする。nについての２次式f(n)を

f(n)=an^2+bn+c　とする。

７つの値
f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)，f(6)，f(7)

がすべて素数になるとき，a,b,cの値を求めよ。

必要に応じて，以下の素数表を利用しても構わない。

（※n^2は「nの２乗」です。HPの入力の都合上そのようにさせていただきます）

▶２桁以下の素数
2 3 5 7 11　13　17　19　23　29　31　37　41　43　47　53　59　61　67　71　73　79　83　89　97

▶３桁の素数
101　103　107　109　113　127　131　137　139　149　151　157　163　167　173　179　181　191　193　197　199　211　223　227　229　233　239　241　251　257　263　269　271　277　281　283　293　307　311　313　317　331　337　347　349　353　359　367　373　379　383　389　397　401　409　419　421　431　433　439　443　449　457　461　463　467　479　487　491　499　503　509　521　523　541　547　557　563　569　571　577　587　593　599　601　607　613　617　619　631　641　643　647　653　659　661　673　677　683　691　701　709　719　727　733　739　743　751　757　761　769　773　787　797　809　811　821　823　827　829　839　853　857　859　863　877　881　883　887　907　911　919　929　937　941　947　953　967　971　977　983　991　997

【コメント】
f(n)=n(an+b)+c であり，f(2),f(3),…,f(7)が素数になることから，cの値がまず決まります。
それを糸口に解いていく問題です。全ての係数が自然数という単純な式でも7つの素数を作り出せること，そして実は問題の答えが１つしかないことがこの問題の“わくわく感”を演出しています。オイラーの素数生成式を意識した作題でした。答えはこのページの最下部に記載しておきます。

今回は高校から入学した多くの生徒が参加してくれました。開始初日の放課後にはわざわざ残って解答してくれた生徒もいましたし，休み時間にも話題にしてくれている人がいて大変嬉しいです。作題はいずれもオリジナルです。計算量が多く，大変だったとの声もあったので，次回はアイディア勝負の問題の比率を増やそうと思います。問題が解けたときのスリル感を少しでも多くの人に味わってもらえればと思います。

＜今回ご紹介した３題の略解＞
第４問解答　9人
第５問解答　A=2，B=5，C=8，D=1，E=3，F=4
第７問解答　a＝5，b＝5，c＝1